素数が無限に大きな数を持つことについての証明ですが.

双子素数（ふたごそすう、英: twin prime）とは、差が 2 である二つの素数の組を構成する各素数のことである。双子素数の組は、(2, 3) を除いた、最も近い素数の組である。双子素数を小さい順に並べた列は、次のとおりである。 素数が無数に存在することは双子素数問題そのものについては、古代ギリシア時代から知られていたとの記述あるいは示唆が多く見られるが、何らの確証も存在しない。文献の上で確認できるものは、A. 双子素数が無限個あるか，有限個しかないのかは未解決問題です。つまり，n 番目の素数を pn と書くと，主張1：pn+1−pn=2 となる n が無限個あるが正しいかどうかは未解決というわけです。ところが，上の予想を弱めた以下の主張2は正しいことが証明されています！主張2：pn+1−pn≤600 となる n が無限個ある主張1が正しい→主張2が正しい，は成立しますが逆はダメです。なお，主張2は以下のように表現することもできます： lim infn→∞(pn+1−pn)<600（任意の整数 N に対してある n>N が存在して，pn+1… 各組の2素数の平均値（中間の偶数）は、次のとおりである。

素数が無限にあることの証明方法はいろいろ発見されていますが，その中でも簡潔で美しい証明方法を集めました。 1．ユークリッドによる証明（一番有名） 2．オイラーによる証明（オススメ） 3．サイダックによる証明（最近発見された） de Polignac (上からの評価式など部分的な結果があるが、その中でも漸近公式の予想は注目に値する。双子素数の組の数の漸近公式はで与えられる。後者の積分による表示式の方が良い近似を与える。ここで、定数 この定数 この問題は、特に2素数の場合の(2020年7月現在で知られている最大の双子素数は、388,342 桁の 素数が無限に存在することは、古代ギリシャの数学者ユークリッドが証明しているが、双子素数が無限に存在するかどうかは証明されておらず、数学最古の難問とされている。この問題を「双子素数予想」 … 双子素数の予想は、「こうしたペアが無限に存在するか証明しなさい」という問題です。 素数自体が無限に存在することは、紀元前にエウクレイデスによって既に証明されています。 双子素数とは、連続した奇数がどちらも素数になるペアのこと 素数が無限に存在することは紀元前に証明されているが、双子素数が無限に存在することは証明できていない 新たな研究は多項式を使い、グラフ形状を比較することで双子素数が無限に存在することの証明に成功した ■素数が無限に存在することは紀元前に証明されているが、双子素数が無限に存在することは証明できていない■新たな研究は多項式を使い、グラフ形状を比較することで双子素数が無限に存在することの証明に成功した一般の私たちにとっては、落ち着きたいときに数えるくらいしか役に立たない素数ですが、数学者たちはこの素数の性質に長年魅了され続けています。素数の難問として有名なのは、数学ミレニアム問題の1つ「リーマン予想」です。これが解決されれば素数の出現位置を予測できるようになると言われています。逆に言えば、現在素数はどこでどういうタイミングで出現するのか法則が見つかっていないのです。今回発表された研究は、こうしたこれを証明しようというのが、「双子素数の予想」問題です。今回の研究者たちは、この問題を整数を使わずに多項式の形にした場合、グラフ形状を比較解析することで証明が可能だと発表しています。この論文は米国コロンビア大学とウィスコンシン大学の二人の数学者によって発表され、現在はコーネル大学arXivで公開されています。素数とはすべての数字は素数の合成で作り出すことができます。これは数を物質と考えた場合、素数は数の原子にあたる存在と考えることができます。そんな中で特異な存在が双子素数です。双子素数の予想は、「こうしたペアが無限に存在するか証明しなさい」という問題です。この証明を簡単に説明すると「素数が有限と考えた場合、判明した全ての素数をかけ合わせて作る数字は、そこに1を足したとき既知の素数のいずれで割っても1余る新しい素数になってしまう。つまり素数は有限ではない」という理屈です。しかし「双子素数が無限にあるか？」となるとちょっと話が違ってきます。ちなみに現在発見されている最大の双子素数は「確かにこれを証明するのは一筋縄ではいかない予感がしますね。今回発表された論文で研究者たちは、有限体は簡単に言えば時計を使った時間の計算のようなものです。時計は12以上の数がありません。例えば時間は3時から3時間経った場合「3+4」は7時ですが、9時から4時間経った場合「9+4」の答えは1時です。有限体はぐっと計算をやりやすくします。コンピュータにとっては特にありがたい話になります。こうした計算範囲を限定した有限体を使った多項式を作り、それを検証して証明を行ったのが今回の研究です。中学校で教わったことですが、多項式は素因数分解というわり算のようなことができます。例えば「x「なんでわざわざ多項式で考えるの？」と疑問が浮かびますが、それは多項式を使って考えた場合、それをグラフとして形で表現できるからです。この場合幾何学的な手法によってグラフの形状を解析することで、整数では導き出せないような素数の性質について証明できるのです。多項式でも、双子素数のような双生児を作ることができると言います。こうしたちょっと複雑な数学のテクニックを組み合わせて用いることで、ただ残念ながら、「じゃあ何の意味があったの？」と思ってしまいますが、大きな証明を行うために小さな証明を積み重ねていくことは数学の基本的な手法です。これは高く険しい山の頂の景色を眺めるために、近くのもっと小さい別の山を登ってそのルートを確認していることに等しいと言われています。本来登りたい山の頂は雲に隠れて見えませんが、いきなり険しい山に登って遭難するより、簡単な山の制覇を積み重ねてから挑むほうが、良い結果を生むことにつながるでしょう。今回の研究者である、Shusterman氏とSawin氏は、今回の証明で学んだことを生かして今後も双子素数問題に取り組みたいと語っています。数学者の場合、素数を数え始めると、その出現法則が気になって逆に気分が落ち着かなくなるのかもしれません。 と置いたとき、「Qは素数である」と言い切ってしまったのですが、 「Qは素数とは限らない」が正しいです。 ただし、素数が無限に大きな数が存在することは間違いない事実です。 Q＝2x3x5x7x11x…xP + 1.