メルセンヌ 素数 判定
アルゴリズムは以下の擬似コードで表される。 メルセンヌ数の素数判定法にはリュカ-レーマー・テストというものが考案されており、メルセンヌ数でない数の素数判定よりも早く素数であるかどうかを判定できる。 メルセンヌ数というのは2^n – 1で表される自然数のことだ。メルセンヌ数の中でも、特にそれが素数のものをメルセンヌ素数と呼ぶ。例えば 2^2 – 1=3, 2^3 – 1=7, 2^5 – 1=31 はそれぞれ素数となっているのでメルセンヌ素数である。 における となる。ここで、という集合 より、2となるはずである。しかし、上の式、 数列 となる。 ここでは、"メルセンヌ数、メルセンヌ素数および完全数とは何か"ということから説明し、最終的にはメルセンヌ素数と完全数の間に成り立つ関係を証明していきます。証明では、途中の導出の式まで丁寧に解説しています。読者の皆さんに、この証明の美しさが伝われば幸いです。 数学の質問で、2^170141183460469231731687303715884105727 -1はメルセンヌ素数ですか？ よって、 リュカ–レーマー・テストはアルゴリズムは以下の擬似コードで表される。 2と3と5と7は一桁の素数の全てだし、2357も素数2と3と5と7は、10以下の一桁の素数の全てです。2357も、4桁の素数です。素数の中で、メルセンヌ数の素数を「メルセンヌ素数」と呼びます。このページでは、メルセンヌ数とメルセンヌ素数の説明に加えて、メルセンヌ素数の一覧をダウンロードできるようにしてあります。メルセンヌ数の求め方は、1、2、3、4、…という自然数を$n$とした時に、$2^{n}-1$の式で求めることができます。この答えがメルセンヌ数です。答えが素数の時は$n$も素数です。（しかし$n$が素数でも、答えは全てが素数にはなりません。）メルセンヌ素数は $2^{p}-1=M_p$という数式で表すこともあります。メルセンヌ数はとても面白い特徴を持った数字です。もう少し詳しくメルセンヌ数を理解してみましょう。まず、$2^{n}-1$の$n$に数字を当てはめて計算してみましょう。上の赤い行は素数ですからメルセンヌ素数です。2進数とは、0と1だけで表す数のことで、2で桁が上がる数字です。↑この一覧表で赤文字の部分を見て下さい。2進数にしたときに、全部1の数字がありますね。これがメルセンヌ数なのです。上の表ですと、3、7、15です。更にメルセンヌ数は、31、63、127、255、511、1023、2047、8191と続きます。では、$2^{n}-1$で計算した答えを二進数になおしてみましょう。赤字はメルセンヌ素数です。※よく見ると、メルセンヌ数を2進数に直すと$n$の数に等しい回数だけ、1が並ぶことがわかりますね。このうなメルセンヌ数の特徴から、メルセンヌ素数も2進数にすると1が$n$回並ぶ素数なのです。面白いですね！（面白くないか。）現在までに分かっている50個のメルセンヌ素数の$2^{p}-1=M_p$の式を一覧にしました。途中までメルセンヌ素数（計算結果）も併記しました。（素数自体が大きいものは、クリックすると答えが表示され、もう一度クリックすると答えが隠れます。）2018å¹´1月現在最大の50番目の素数は$2^{77232917}-1$です。$2^{77232917}-1$とは、${2}\times{2}\times{2}$…と、$77232917$回掛け算してから1を引いた数です。2324万9425桁の数字なんですよ！すごいですね～！49番目のメルセンヌ素数では$2^{74207281}-1$で、2233万8618桁もありますし、48番目のメルセンヌ素数$2^{57885161}-1=$も1742万5170桁あり、48番目の素数を書いたファイルでさえ17メガバイト(MB)を超えるサイズになります！50番目のメルセンヌ素数$2^{77232917}-1$は、2324万9425桁の素数ですが、パソコン（0と1で考える2進数）でこのメルセンヌ素数$2^{77232917}-1$を表示するときには、7723万2917個の1が並んだ2進数になります。2進数って面白いでしょ？（面白って言って！笑） が成り立ち、よって、 以下、まず、となる。 より、 よって、2よって、次に つまり、 平方剰余の相互法則の第2補充法則よって、 この記事では，完全数の意味や，完全数とメルセンヌ素数の関係について解説します。 完全数の例. メルセンヌ素数の一覧と、メルセンヌ数の計算式の説明。メルセンヌ数は二進数にすると全部1111…になる不思議な数です。10進数を2進数に直す方法も説明します。世界で最大の素数計算式も掲載中。 1を移項し、両辺を2乗すると、 が示された。 今回は素数判定用の変数flagを用いました。 素数ならば：flag=0; 素数でないならば：flag=1; 素数判定のソースコードは以下になります。 小学算数レベルでもわかる、素数の基本と問題をまとめました。 素数、「互いに素」、3けたまでの素数の一覧、双子素数、三つ子素数、セクシー素数、回文素数、エマープ、「エラトステネスのふるい」を利用した簡単な素数判定方法について。 史上最大の素数が発見された。なんと2324万9425ケタだ。400字詰め原稿用紙に書き起こすと、5万8000枚近く必要になる。 なんと2324万9425ケタだ。 2 p-1（pは素数）の解が素数のものをメルセンヌ素数と言います。 例えば31は、（2×2×2×2×2）－1 ＝ 31つまりは、2 5-1で、指数pが5のメルセンヌ素数ですね。 ・今までに判っているメルセンヌ素数全リスト