丟番圖方程式的名字來源於3世紀關於丟番圖方程式的理論的形成和發展是二十世紀數學一個很重要的發展。丟番圖方程式的例子有一次不定方程式是形式如換言之若有二元一次不定方程式1900年， 「一次不定方程式」の解き方がよくわからない？本記事では、一次不定方程式の特殊解の見つけ方から、ユークリッドの互除法を用いる問題、さらに一次不定方程式の応用問題3選まで、わかりやすく解説します。「一次不定方程式マスター」になりたい方必見です。 丟番圖方程式，又稱不定方程式，是未知數只能使用整數的整數係數多項式 等式；即形式如 + +..... + = 的等式，並且其中所有的 、 和 均是整數。 若其中能找到一組整數解,... 者則稱之有整數解。. 今回は1次不定方程式について学習しましょう。この単元も頻出です。センター試験では、1次不定方程式を扱った問題が出題されると考えておいた方が良いでしょう。十分に演習をこなしておきましょう。 … 不定方程式とは、方程式の数よりも未知数の数が多いような方程式のことです。つまり、x,\,yの2文字があって2つ方程式があればただの連立方程式になりますが、式が1つしかない場合には不定方程式と呼ばれ、解が無数に存在します。そこで、大学入試問題では不定方程式において解を整数解だけに限定して解を求めさせる問題が非常によく出題されます。 ある売店では、A弁当が1050円、B弁当が1300円、サンドイッチが400円で販売されており、昨日の売上高と売れた個数について次のア～ウのことが分かっている。 一次不定方程式の整数解を求める問題です。 一次不定方程式の整数解の問題も知らないと解法をその場で思いつくのは難しいタイプの問題だと思います。 こんにちは、ウチダショウマです。さて、突然ですが「ちなみに不定方程式とは、$ax+by=c$（ $a$，$b$，$c$ は自然数）のように、こういった悩みを抱えている方は多いでしょう。よって本記事では、一次不定方程式の解き方のポイントから、の僕がわかりやすく解説します。一次不定方程式 $ax+by=c$ の最大のポイント。それは…これに尽きます。具体的に問題を解いた方がわかりやすいかと思うので、さっそく一次不定方程式を解く練習をしていきましょう。(2)の数字がやけに大きくて怖いですが、とりあえず(1)の解はすぐに見つかりますね？たとえば $x=2$，$y=-1$ などが特殊解です。一次不定方程式では、特殊解が見つかったらそれをそのまま代入した式$$2・2+3・(-1)=1$$を利用して、一般解（つまりすべての整数解）を求めていきます。(1) $2x+3y=1$ から $2・2+3・(-1)=1$ を引くと、$$2(x-2)+3(y+1)=0$$となり、移項して整理すると、$$3(y+1)=2(2-x) …①$$ここで、$2$ と $3$ は互いに素であるため、$y+1$ が $2$ の倍数となる必要がある。よってある整数 $k$ を用いて、$y+1=2k$ と表すことができる。これを①に代入すると、$3×2k=2(2-x)$ となり、$x$ について解くと、$x=-3k+2$ となる。したがって、求める整数解は$$x=-3k+2 \ , \ y=2k-1 \ ( \ k \ は整数)$$(2) 同様に特殊解を見つければいいのだが…という計算$$\left\{\begin{array}{ll}1073x&+527y&=1 …②\\1073・111&+527・(-226)&=1 …③\end{array}\right.$$よって、$②－③$ をして整理すると、$$527(y+226)=1073(111-x) …④$$ここで、$1073$ と $527$ は互いに素したがって、求める一般解は$$x=-527k+111,y=1073k-226(kは整数)$$「特殊解を見つける → 一般解が求まる」という流れはバッチリですね！ここで生まれた新たな疑問点は、ですが、これらはどちらとも「一次不定方程式は、いつも整数解を持つわけではありません。ここで重要な定理を紹介します。つまり、$a$ と $b$ の最大公約数がカギとなるのです！今回は「(1) $GCD( \ 3 \ , \ 5 \ )=1$ より、$3x+5y=1$ は整数解を持つ。(2) $GCD( \ 27 \ , \ 54 \ )=27$ より、$27x-54y=32$ は整数解を持たない。(3) $GCD( \ 28 \ , \ 21 \ )=7$ より、$28x+21y=7$ は整数解を持つ。(4) $GCD( \ 7 \ , \ 13 \ )=1$ より、$-7x+13y=1$ は整数解を持つ。よって、両辺を $1000$ 倍した方程式 $-7・1000x+13・1000y=1000$ も整数解を持つ。(2)は、最大公約数が $27$ であり、それに対し右辺の値が $32$、つまり $27$ の倍数ではありませんね。よって整数解を持ちません。(4)は、最大公約数が $1$ である、つまり互いに素であるので、どんな整数 $c$ であっても$$-7x+13y=c$$は整数解を持ちます。ここからわかることは、さて、一次不定方程式の基本はマスターできましたね。ここからは、一次不定方程式の応用問題 $3$ 選を解いていきましょう。今までの話が理解できているかの確認問題です。$1073x+527y=1$ の特殊解が $x=111$，$y=-226$ であることを利用して解いてください。$1073・111+527・(-226)=1$ より、両辺を $3$ 倍すると、$1073・333+527・(-678)=3$ となる。よって、$$\left\{\begin{array}{ll}1073x&+527y&=3 …①\\1073・333&+527・(-678)&=3 …②\end{array}\right.$$$①-②$ をして整理すると、$$527(y+678)=1073(333-x)$$あとは同様に解くことができるので省略。したがって、求める一般解は$$x=-527k+333,y=1073k-678(kは整数)$$さて、$x$，$y$ がともに自然数でなければいけないので、解はかなり絞られそうですね。どうやって解くか、ぜひ考えてから解答をご覧ください。$2x+3y=1$ の特殊解が $x=2$，$y=-1$ であったことから、$2x+3y=20$ の特殊解は $x=40$，$y=-20$ とすぐに求まる。よって、今まで通りに解くと、$$x=-3k+40 \ , \ y=2k-20 \ ( \ k \ は整数)$$となるが、$x≧1$，$y≧1$ を満たす $k$ でなければならない。つまり、$$\left\{\begin{array}{ll}-3k+40&≧1 …①\\2k-20&≧1 …②\end{array}\right.$$この連立不等式を解けばOK。①と②の共通範囲を求めて、$\displaystyle \frac{21}{2}≦k≦\frac{41}{3}$これを満たす $k$ は、$k=11 \ , \ 12 \ , \ 13$ の $3$ つ。したがって、求める自然数解は$$( \ x \ , \ y \ )=( \ 7 \ , \ 2 \ ) \ , \ ( \ 4 \ , \ 4 \ ) \ , \ ( \ 1 \ , \ 6\ )$$自然数でなくても、何らかの条件が付いた場合はこの手順で解けばOKです。ラストは、文章題から一次不定方程式を作って、それを解く問題です。$3$ つの変数が必要になりますが、解き方は今までの応用で何とかなります。求める自然数を $N$ とすると、ある整数 $x$，$y$，$z$ を用いて、$$N=11x+2=3y+1=5z+3$$つまり、$$\left\{\begin{array}{ll}11x+2=3y+1 …①\\11x+2=5z+3 …②\end{array}\right.$$となり、$2$ 変数の一次不定方程式が $2$ つできる。①…$11x-3y=-1$ の特殊解は、$x=1$，$y=4$ であるから、$11(x-1)=3(y-4)$ となる。よって、ある整数 $k$ を用いて、$x=3k+1$ と求まる。これを②に代入すると、②’…$33k-5z=1$ の特殊解が、$k=2$，$z=13$ より、$33k-5z=-10$ の特殊解は $k=-20$，$z=-130$ であるから、$33(k+20)=5(z+130)$ となる。よって、ある整数 $l$ を用いて、$k=5l-20$ と表せる。以上を代入すると、今回、$3$ 桁の $N$ の中で最大のものを求めるので、$$165l-647<1000$$これを解くと、$\displaystyle l<\frac{1647}{165}≒9.98…$ なので、$l=9$ のとき $1000$ を超えない最大の数となる。したがって、求める自然数 $N$ は、$N=165×9-647=838$この問題のポイントはという解答の流れですね。本記事の要点をまとめましょう。“一次”不定方程式と言うぐらいですから、もちろん”二次”不定方程式や”分数”不定方程式など、いろんな不定方程式があります。以上で終わりです。© 2019 遊ぶ数学.