最大公約数フローチャート

をa. 0 , a. 3 = a. 目次東大塾長の山田です。今回は「ユークリッドの互除法とは何か？」という基本から、最大公約数の求め方、そして例題を解きながら1次不定方程式への応用方法についても超わかりやすく解説していきます。ユークリッドの互除法を理解していくにあたって、順を追って解説をしていきます。2つの自然数の最大公約数について、次の定理が成り立ちます。2つの自然数 $ a, \ b $ について，$ a $ を $ b $ で割ったときの商を $ q $，余りを $ r $ とするとこの割り算と最大公約数の定理を使って、2つの自然数の最大公約数を求める方法が、次の次のように2つの自然数 $ a, \ b $ の最大公約数を求める方法を文字ではわかりづらいところもあると思うので、具体的な数字でやり方をみてみましょう！ 8177と3315の最大公約数を、ユークリッドの互除法で求めてみます。よって、このようにこれがユークリッドの互除法です。ユークリッドの互除法の証明をしていきます。ユークリッドの互除法の証明は、入試が記述試験の場合は頻出のテーマです。2つの自然数 $ a, \ b $ について，$ a $ を $ b $ で割ったときの商を $ q $，余りを $ r $ とするとまずは、このことを証明していきます。条件より　$ a = bq + r \ \cdots ① $$ a $ と $ b $ の最大公約数を $ \color{red}{ m } $，$ b $ と $ r $ の最大公約数を $ \color{red}{ n } $ とします。$ \color{red}{ m } $ は $ a $ と $ b $ の最大公約数だから、②より、$ \color{red}{ m } $ は $ r $ の約数といえます。よって、$ \color{red}{ m } $ は $ b $ と $ r $ の公約数といえます。$ b $ と $ r $ の最大公約数は $ \color{red}{ n } $ だから$ m≦n \ \cdots ③ $一方，$ \color{red}{ n } $ は $ b $ と $ r $ の最大公約数だから、①より、$ \color{red}{ n } $ は $ a $ の約数といえます。よって、$ \color{red}{ n } $ は $ a $ と $ b $ の公約数といえます。$ a $ と $ b $ の最大公約数は $ \color{red}{ m } $ だから$ n≦m \ \cdots ④ $③，④より　$ \color{red}{ m = n } $よって、この操作を繰り返し行うと、余りは割る数より小さいので、この操作は有限回数で終わり、最後は必ず余りが0になり、最終的に最大公約数が求まるといえます。したがって、ユークリッドの互除法が成り立ちます。「ユークリッドの互除法は最大公約数を求める手法だ」と解説しましたが、入試でユークリッドの互除法が一番活躍するのは「1次不定方程式」の問題への利用です。具体的に、どのようにユークリッドの互除法を応用するのかを、順を追って解説していきます。まずは，1次不定方程式の基本的な解き方を解説します。次の方程式の整数解をすべて求めよ。$ 3x+4y = 1 \ \cdots ① $$ x=3, \ y=-2 $は、①の整数解の1つです。よって$ 3 \cdot 3 + 4 \cdot (-2) = 1 \ \cdots ② $①－②から$ 3(x-3) + 4(y+2) = 0 $∴　$ 3(x-3) = -4(y+2) \ \cdots ③ $3と4は互いに素だから、$ x-3 $は4の倍数といえます。よって、$ k $ を整数として、$ \color{red}{ x-3 = 4k } $ と表すことができます。これを③に代入すると$ 3 \cdot 4k = -4(y+2) $∴　$ \color{red}{ y+2 = -3k } $したがって、求める解は次はユークリッドの互除法を使って解く、1次不定方程式の問題です。次の方程式の整数解をすべて求めよ。$ 275x+61y = 1 \ \cdots ① $①の整数解の1つを見つけるために、ユークリッドの互除法を利用します。275と61に互除法の計算を行うと$ 275 = 61 \cdot 4 + 31 \ \Rightarrow \ 31 = 275 – 61 \cdot 4 $$ 61 = 31 \cdot 1 + 30 \ \Rightarrow \ 30 = 61 – 31 \cdot 1 $$ 31 = 30 \cdot 1 + 1 \ \Rightarrow \ 1 = 31 – 30 \cdot 1 $一番下の式に、上の式を順に代入して整理していくと$ \begin{align}ゆえに\( \color{red}{ 275 \cdot 2 + 61 \cdot (-9) = 1 } \ \cdots ② $よって、$ 275x+61y = 1 $の整数解の1つは $ x=2, \ y=-9 $ とわかりました。①－②から$ 275(x-2) + 61(y+9) = 0 $∴　$ 275(x-2) = -61(y+9) \ \cdots ③ $275と61は互いに素だから、$ x-2 $ は61の倍数といえます。よって、$ k $ を整数として、$ \color{red}{ x-2 = 61k } $ と表すことができます。これを③に代入すると$ 275 \cdot 61k = -61(y+9) $∴　$ \color{red}{ y+9 = -275k } $したがって、求める解は以上がユークリッドの互除法の解説です。1次不定方程式への応用では、「余りが1になるまで割っていき、整数解を求める」ことがポイントです。今回の記事を勉強の参考にして、ユークリッドの互除法をマスターしてください！Leading Up System（通称“LUS”）とは、「知識ゼロの状態」→「東大合格レベル」まで約2600題の解説授業、いつでも受け放題のWEBテスト、参考書がもはや不要になるレベルアップテキストを完全整備したオンラインスクール。全国の受講者累計3400名を突破しました（2019年10月時点）。東大塾長の公式LINEに登録すると、Leading Up Systemの案内を受け取ることができます。 ©Copyright2020 最大公約数とは、二つの数に共通する約数（公約数）のうち最大のものです。たとえば、36と24の公約数は、1,2,3,4,6,12ですが、最大公約数はそれらの中で最大の12になります。最大公約数を求めるアルゴ … 数の性質の第７回目です。数の性質の第３回目です。有名なアルゴリズム「ユークリッドの互除法」を使って最大公約数を求めるプログラムをつくります。main関数に書いたものと、関数化したものの2例を示します。C言語プログラミングの参考になりそうなTipsやクイズのページです。中学受験算数の数の性質の問題を解説していきましょう。中学受験算数の数の性質の問題を解説していきましょう。今回は公約数・最大公約数の簡単な求め方について見ていきます。概要公約数・最大公約数の意味と求め方を学ぶ前に、まずは「約数」の理解が必要不可欠です。約数や素数とは何かということ＆求め方について見ていきます。約数...すごくタメになりました！コメントありがとうございます。ありがとコメントありがとうございます！今回は約数の簡単な求め方についてです。（約数ってそもそ... $\boldsymbol{=}$ ( $\boldsymbol{345}$ と $\boldsymbol{161}$ の最大公約数) が言えます．これを互除法の原理と言います．互除法の原理を繰り返せば，数字が小さくなって，最大公約数を見つけやすいはずです．先ほどの右の長方形に同じことを繰り返し適用します．中学受験生に限らず小学生・中学生にも分かりやすく説明していきます。 3 , … を次のように計算，0 になったら終了 – a. 最大公約数を求めるのにいちいち数値を比較してゆくのは手間がかかります。そこでこのような… 「効率の良い手順で処理を行う」という手法がアルゴリズムなのです。処理手順を表現するフローチャートとは？プログラムで中学受験算数の数の性質第２回です。中学受験だけでなく中学の学習にも役立ちます。